Z 分布详解
Z 分布（Z-distribution），也叫标准正态分布，是一种均值为 0、标准差为 1的正态分布。
它的曲线呈钟形，左右对称，常用于统计学中的假设检验和置信区间估计。
Z 分布的特点
- 均值 μ = 0
- 标准差 σ = 1
- 服从 N(0,1) 的正态分布
- Z 值表示样本点与均值的标准差距离
Z 值公式
Z 值计算公式为：
Z = (X - μ) / (σ / √n)
其中：
- X：样本均值
- μ：总体均值
- σ：总体标准差
- n：样本容量
Z 分布表的使用方法
Z 分布表记录了不同 Z 值对应的累计概率（即曲线左侧的面积）。
使用步骤如下：
- 先确定计算出的 Z 值。
- 在 Z 分布表中找到对应行（整数部分 + 第一位小数）。
- 在列中找到第二位小数。
- 交叉点的数值就是P(Z ≤ 某值)。
例：如果 Z = 1.96，在 Z 分布表中查得累计概率约为 0.975，也就是左侧面积为 97.5%。
1.96 的由来
很多人都好奇：为什么显著性水平 α=0.05 时，我们常用的 Z 临界值是 1.96？
如果你记得正态分布的经验法则（68-95-99.7 法则），就会知道当 Z 值 = 2 时，覆盖范围约为 95.45%，两侧加起来约 4.55%。
但统计中我们更常用的显著性水平是 5%（双侧各 2.5%）。这个时候对应的 Z 值不是 2，而是 1.96。
这个 1.96 一般是从标准正态分布表查出来的。如果想用 Excel 计算，可以输入公式：
=NORM.S.INV(1-0.05/2)
结果就是 1.95996 ≈ 1.96。
Z 检验示例
假设某饮料公司宣称其瓶装饮料的平均容量为 500 ml，标准差为 10 ml。我们随机抽取 n=36 瓶，测得样本均值为 498 ml。问题是：公司宣称是否可信？（显著性水平 α=0.05）
解题步骤
- 设定假设：
- H₀: μ = 500（公司说法正确）
- H₁: μ ≠ 500（公司说法不正确）
- 计算检验统计量：
Z = (X - μ) / (σ / √n) = (498 - 500) / (10 / √36) = (-2) / (10/6) = -2 / 1.667 ≈ -1.20
- 查找临界值：显著性水平 α = 0.05（双侧检验），临界 Z 值为 ±1.96。
- 比较结果：计算得到的 Z = -1.20，没有落在拒绝域（小于 -1.96 或大于 +1.96）。
- 结论：接受原假设，公司宣称可信。
总结
- Z 分布是一种标准化的正态分布，常用于假设检验。
- 通过 Z 分布表可以查得概率值，辅助决策。
- Z 检验步骤包括：建立假设、计算 Z 值、查表确定临界值、得出结论。
- 常见的临界值 1.96 来自标准正态分布表，或通过 Excel 函数计算得到。
